Pýthagorejci klasické doby

V klasické době se pýthagorejské myšlenky šíří se z Itálie do pevninského Řecka, ne však do Iónie. Tato expanze je nechtěným následkem vyhnání pýthagorejců z Krotónu, snad po jejich pokusu o převzetí politické moci, pokud nemá i prvky misie (v Řecku netypický jev). Přesto měli na sklonku archaické doby v jižní Itálii silné politické pozice, jejich úplný pád v politice nastal až kolem r. -450. Kdo chce, může to chápat jako konflikt pýthagorejské nezištnosti a osvěty s tupým ziskuchtivým vládcem nebo davem. Kdo chce, může v tomtéž vidět rozumnou reakci měst na podivné politické ambice a praktiky pýthagorejců.
Pýthagorejci klasické doby vytvořili i ucelenou teorii hudby jako matematickou harmonii (nauka o aritmetických, geometrických a harmonických úměrách), která bude ještě ve středověkých školách vyučována jako musica. Zdá se, že magické kontexty a vlastnosti typu „muže božího“ v klasické době ustupují, zatímco matematika a astronomie se z „esoterního“ hájemství dostává na veřejnou scénu. Zde je kýžený magický efekt proveden v rovině technologické, což je považováno za větší výkon.